10 URČOVANIE VÝMER

V praxi často treba určiť plochu (výmeru) pozemku alebo plochu rozličných obrazcov zobrazených na mapách, plánoch alebo výkresoch, napr. plochu priečnych rezov na výpočet objemov stavebných násypov alebo výkopov, pri určovaní plochy povodia vodného toku, plochu zaplavenej oblasti, dobývacieho priestoru nerastu, veľkosti staveniska a pod. V geodetickej praxi sa najčastejšie stretávame s určovaním výmery pozemku (parcely), ktorá tvorí základný údaj katastra nehnuteľnosti . Výmerou parcely sa rozumie plocha ,jej horizontálneho priemetu vyjadrená v stanovených plošných jednotkách [12].

Pri používaní starších mapových podkladov, napr. na Slovensku v mierke 1:2 880, 1:1 440 a pod. stretávame sa aj so staršími plošnými jednotkami, ktorých základnou plošnou jednotkou je štvorcová siaha 1? = 3,596 652 m2 = 3,6 m2 alebo 1 m2 = 0,278 036 ?2.

- výpočtom z pôvodných (priamo meraných) mier,

- výpočtom z pravouhlých súradníc vo vhodne zvolenom systéme , na ktorý sa vzťahujú lomové body parcely,

- meraním plochy na mape, čiže planimetrovaním mechanickými alebo elektronickými planimetrami a digitalizátormi.

Pri určovaní výmery parcely ide väčšinou o výpočet plochy obrazca nepravidelného tvaru. Na zjednodušenie výpočtu plochy obrazec pomocnými čiarami rozložíme na trojuholníky, štvoruholníky alebo lichobežníky(obr.10.1), ktorých plochy vypočítame pomocou jednoduchých vzorcov.Určovacie prvky na výpočet plochy týchto obrazcov určíme priamym meraním pričom zvyčajne ide o meranie dĺžok strán a výšok v trojuholníku alebo lichobežníku (obr.10.2)

trojuholník. b - liehobežnik. c - kolmicový lichobežník

Výpočet plochy z originálnych mier možno aplikovať aj pri zameraní pozemku metódou pravouhlých súradníc (obr. 10.2c). V danom prípade malé kolmice rozdeľujú obrazec na kolmicové lichobežníky, kde rovnobežné strany sú kolmičky (poradnice) a výškou v je rozdiel úsečiek, čiže rozdiel staničení bodov A a B. Ak body A a B sú na rôznych stranách meračskej priamky, potom poradnice na jednej strane majú kladné a na druhej strane záporné znamienko. V danom prípade pre plochu lichobežníka platí

Plochy jednotlivých obrazcov vypočítame na dve desatinné miesta.

Prvú rovnicu môžeme slovne vyjadriť takto : dvojnásobok plôch obrazca určíme ako sumu súčinov úsečky každéha vrcholu a rozdiel poradníc obidvoch susedných vrcholov obrazca, pritom rozdiel poradníc utvoríme tak, že od poradnice nasledujúceho bodu odrátame poradnicu predchádzajúceho bodu. Analogicky možno slovne vyjadriť aj i druhú rovnicu. Uvedené vzorce, označované ako Gaussove alebo ĽHuillierove vzorce, možno použiť pri výpočte pomocou vreckových alebo stolných počítačov a možno ich aplikovať na ľubovolný uzavretý obrazec (mnohouholník). Výmery Tubovoľného obrazca z pravouhlých súradnic xi a yi jeho , lomových bodov 1, 2, . . ., n vypočítame podľa (obr. 10.3a). Lomové body obrazca očíslujeme v smere pohybu hodinových ručičiek, pričom za prvý bod sa mô že zvoliť ktorýkoľvek z vrcholov uvažovaného n-uholníka. Pri číslovaní lomových bodov proti smeru pohybu hodinových ručičiek vyjde plocha so záporným znamienkom. Z bodov obrazca spustíme na os +x kolmice a dostaneme súradnice y príslušného bodu. Vzorce pre pravouhlé súradnice možno použiť aj na výpočet výmery pozemku zameraného na meračskú priamku pravouhlými súradnicami (obr. 10.3b), čiže staničením xi a poradnicami (kolmičkami) yi vzhľadom na meračskú priamku MN, ktorú považujeme za os xi Začiatok súradnicového systému je zvyčajne v začiatku staničenía 0,00 (bod M). Hodnoty staničenia sú potom úsečkami xi a kolmičky poradnicami yi ktorým priradíme určité znamienko ,v smere staničenia sú poradnice v smere napravo kladné a naľavo záporné.

Súradnice bodov obrazca sa obyčajne určujú na 0,01 m a vypočítavajú sa na štyri desatinné miesta. Výsledok sa zaokrúhli na celé m2.

Výpočet plochy obrazca z polárnych súradníc vychádza zo základného vzorca pre plochu trojuholníka (obr. 10.4) daného dvoma stranami zovretými uhla a nimi zovretými uhlami pre ktoré platí : (10.6)

Keď máme určiť pozemok s väčšou výmerou, napr.výmenu honu : (časť poľa, na ktorom je zasiata jediná plodina), potom pozemok v tvare mnohouholníka zameriame tak, že meriame dĺžky strán a vnútorne úhly mnohouholníka (obr.l0.5).Výmera pozemku sa určí počítačom podľa Mascheroriiho vzorca,ktorého odvodenie je v[1]. Plochu pozemku ABCDEF určíme podľa vzorca.

Obr. 10.5. Výpočet výmery rozmerného pozemku (Marcheroniho riešenie)

súčet Σω= (n - 2) 180°.

Vzorec na výpočet výmery pozemku je zostavený podľa nasledujúceho pravidla. V mnohouholníku vypustíme jednu stranu (napr. s6) pretože na určenie plochy obrazca je nadbytočná. Zo zvyšujúcich strán utvoríme všetky možné kombinácie dvojíc strán a násobíme ich sínusom súčtu všetkých vrcholových uhlov ?, ktoré sú medzi nimi. Výrazom s nepárnym počtom vrcholových uhlov priradíme kladné znamienko a s párnym počtom vrcholových uhlov záporné znamienko. Súčet všetkých výrazov vyjadruje dvojnásobnú plochu pozemku.

Výmery parciel alebo iných obrazcov môžeme určovať aj z mier ziskaných grafickým odsunutím z mapy alebo plánu. Prvky, potrebné na výpočet výmery, určíme graficky z mapy zobrazovacími (kartírovacími) trojuholníčkami ,al~.bQ~~.n~n(c)v.šie zobrazovacou supravou napr. kartometrom KAŔ-AZ/M (pozri obr. 10.12), resp. poloautoma.~ičkym odčítačom súradníc čs. výroby Digipos (výrobca IsTovoborské stŕoji~ny v Novom Bore). Pri grafickom odsúvaní mier zobr~zovacími trojuholníčkami parcelu rozložíme na jednoduché obrazce (trojuholníky, štvorce a pod.), v ktorých odsunieme prvky potrebné na výpočet plochy. Pri používaní zobrazovacích súprav, zvyčajne odsuvame pravouhle suradnice lomových bodov obrazca (s presnost'ou ± 0,1 mm) v zvolenej súradnicovej sústave, .z ktorých vypočítame plochu obrazca, najlepšie s výstupom na vhodný počítač (pozri prospekt výrobcu).

Ak sa plocha zobrazí v mierke 1 : M a určuje sa jej plocha P' planimetrovaním, potom skutočná veľkosť plochy sa vypočita podľa vzorca

čiže plocha v skutočnosti sa rovná ploche na mape násobenej štvorcom mierkového čísla mapy. Výpočet výmer z plánov resp. máp je menej presný ako výpočet plochy z pôvodných mier. Ovplyvňuje to najmä grafická presnosť výkresu alebo mapy tým, že výkresový (mapový) papier podlieha rozmerovým zmenám spôsobeným vplyvom starnutia, teploty a najmä vlhkosti papiera. Zmeny v rozmeroch papiera meriame a vyjadrujeme ako dlžkovú alebo plošnú zrážku zvyčajne v percentách. Podrobnosti o dĺžkových, resp. plošných zrážkach sú uvedené v [l, 2, 3].

Podľa činnosti a konštrukčnej realizácie rozlišujeme mechanické planimetre na jednoduché (rastrové) planimetre a polárne planime.

Planimetre tvorí sústava rovnobežných čiar, vyznačených na vhodnom priesvitnom podklade, ktorý po priložení na plochu obrazca zložitého tvaru vytvárajú jednoduché obrazce zvyčajne lichobežnikového tvaru. Plochu lichobežníkov získame výpočtom na základe graficky odmeranej strednej dĺžky lichobežníka. Z planimetrov, pracujúcich na tomto princípe, sa v geodézii najčastejšie používajú nitkové planimetre.

Praktickú realizáciu transparentného planimetra predstavuje Harfov planimeter (obr. 10.6), ktorý si môžeme sami zostrojiť tak, že , na priesvitný papier (fóliu) narysujeme rovnobežky s určitým konštantným odstupom atď. Čiary môžu mať väčšie alebo menšie odstupy a možno ich striedavo narysovať rozličnými farbami. Planimeter položíme na mapu (výkres) a nasmerujeme tak, aby sa jedna z rovnobežiek,dótýkala obrazca. Potom odmeriame stredné dlžky yi v obrazoch a určíme ich súčet . Tento súčet účelne určíme grafickým sčítaním jednotlivých yi na transverzálnom meradielku alebo odpichovacím súčtovým kružidlom [2, 4].

Plocha obrazca sa skladá zo súčtu jednotlivých lichobežníkov, čiže

Na rovnakom princípe ako harfový planimeter zakladá sa aj nitkový (Alderov) planimeter (obr. 10. 7). V kovovom ráme sú rovnobežne napnuté rozlične zafarbené a s konštantným odstupom vlákna, ktorými sa meraný obrazec rozdelí na lichobežníky s rovnakou výškou ? a rozdielnou strednou dĺžkou yi. Stredné dĺžky meriame a sčítavame súčtovým kružidlom (obr. 10.8) [4]. V podstate ide o odpichovacie kružidlo,ktorého ramená možno roztvoriť iba na určitú hodnotu r (označovanú ako rozstup kružidla) tak, aby základná plôška Po = ar mala pre danú mierku plánu alebo mapy zaokrúhlenú hodnotu. Výsledkom merania plochy obrazca je n celých rozstupov kružidla r a zvyšok b, ktorý je menší ako rozstup r. Celková plocha určovaného obrazca sa určí podľa vzorca

Nevýhoda nitkových planimetrov je v tom, že hroty kružidla, prepichujú pri práci výkres (mapu), a tým ho znehodnocujú.

rameno rm. Obidve ramená sú spojené kĺbom S. Pólové rameno sa , otáča okolo pólu P, ktorý je zhmotnený hrotom alebo klbom, zapadajúcim do ložiska závažia. Meracie rameno ukončuje hrot H, ktorým sa opisuje obvod obrazca. Na kratšom ramene pri rovnobežnom s rm je meracie koliesko K, ktoré sa pri pohybe hrotu otáča. Dráha kolieska sa číta na číselnom kotúči C a na obvode kolieska K s verniérom. Počet celých otáčok kolieska sa registruje na kruhovej stupnici s verniérom na 0,001 otáčky kolieska. Podmienkou správnosti planimetra je, že os integračného kolieska musí byť v osi pohyblivého ramena alebo musí byť s ňou rovnobežná.

Obr. 10.8. Súčtové kružidlo

po- plošná jednotka (zaokrúhlená - 2 m2, 10 m2 a pod.) zodpovedajúca jednotke čítania verniéra. Vyplýva z dĺžky ramena rm a z mierky mapy.

Pred planimetrovaním treba najprv vyhľadať vhodnú polohu planimetra vzhľadom na meraný obrazec. Obyčajne planimetrujeme s pólom mimo obrazca. Hrot položíme približne do stredu meraného obrazca a planimeter postavíme tak, aby pólové rameno bolo približne kolmé na pohyblivé rameno. Potom pokusne hrotom obídeme obraz, a ritom sa snažíme, aby uhol zovretý pohyblivým a pólom ramenom nebol v niektorom mieste priveľmi tupý alebo ostrý. Pri pokusnom obchádzaní sa ďalej presvedčíme, či sa meracie koliesko nezošmykuje z papiera, a či nebude aj inak pri odvarovaní rušené.

Potom na obvode obrazca zvolíme a ryskou označíme začiatočný bod a čítame na počítadle otáčok aj na verniéri (čítanie n1). Potom obídeme hrotom celý obrazec a znova čítame (čítanie n2). Rozdiel čítaní je dĺžka odvalenej dráhy n = n2 - n1. Na zvýšenie presnosti a zamedzenie vplyvu chýb prístroja obvod obrazca obídeme niekoľkokrát v obidvoch smeroch a do výpočtu zoberieme aritmetický priemer.

Polárne planimetre sú obľúbené pre svoju rýchlosť, jednoduchosť a operatívnosť. Pri určovaní malých plošných obsahov nie sú z hľadiska presnosti najvýhodnejšie. Na presnejšie určenie plochy sa používajú planimetre opísané v stati 10.3.1.3.

Kolieskové planimetre nemajú pól. Prístroj sa pohybuje na vrúbkovaných kotúčoch a meracie koliesko sa otáča tiež na kotúči pripevnenom na planimetri [5].

firmy A. Ott (SRN) a iné. Údaje planimetrov možno automaticky registrovať a výpočty plôch obrazcov realizovať na číslicových počítačoch stolového typu. Príkladom je vozíkový planimeter s kruhovou doskou firmy Zuse-Ott (SRN) s fotoelektrickým snímačom.

V ostatných rokoch sa na určovanie plôch používajú aj fyzikálne spôsoby, pri ktorých namiesto mechanického princípu integrácie použivajú sa najmä elektrické a elektronické prístroje a zariadenia. Pri fyzikálnych metódach ide o meranie neelektrických veličín (plochy) elektrickými metódami priamo alebo sprostredkujúcou svetelnou energiou. Veľkosť plochy sa indikuje digitálne alebo na pripojenom dierovači sa vydieruje do pásky na ďalšie spracovanie. Niektoré planimetre majú aj tlačiareň.

V súčasnosti sú k dispozícii elektronické planimetrické zariadenia , napr. Coradi-Digimeter (Švajčiarsko), Sokkischa KP 80 N, Planix (SRN) alebo kompenzátorový elektronický planimeter Ottplan (SRN), konštruovaný pomocou mikročípovej elektroniky s bezkontaktovým snímaním otáčok meracieho kolieska [5]. Presnosť týchto planimetrov je ± 0,2 % .

Veľkosti plôch obrazcov na mape môžeme určovať aj digitalizátormi analógových podkladov s pevnými alebo pohyblivými snímačmi [5]. Snímané súradnice lomových bodov obrazca sa indikujú na digitálnom displeji podľa vopred vložených inštrukcií. Údaj možno zaznamenať aj na vhodné registračné médium. Podľa spôsobu snímania sa rozdeľujú digitalizátory na ručné a automatické. Presnosť snímania (čítánia) súradníc bodov obrazca väčšiny digitalizátorov je ± 0,02 až 0,16 mm.

z vozidla 1, vozíka 2, lišty 3, zo zriaďovacej sústavy 4, prepichovacej ihly 5, dvoch mikroprepínačov s tlačidlami 6 a 7, elektronického bloku 8, pohybových skrutiek Y 9 a X 10, tlačiarničky 11, minipočítača PND-85 Tesla 12 a televíznej obrazovky 13.

Určovanie výmer pozemkov (obrazcov) je výsledkom meračských, výpočtových a grafických procesov. Výmery pozemkov možno určovať výpočtami z pôvodných mier, z mier získaných graficko- počtárskym spôsobom alebo planimetrovaním. Najpresnejšie určíme výmeru pozemku z pôvodnych mier, ktoré vznikli pri meraní v teréne. Graficko-počtársky spôsob je menej presný, pretože k chybám pri meraní v teréne sa priraďujú ešte chyby vzniknuté pri vyhotovovaní mapy, chyby vzniknute zrazením a vlhkosťou papiera atď. Použitie a presnosť určenia výmery pozemku planimetrovaním závisí najmä od druhu, kvaliti a presnosti použitého pristroja. Všeobecne pri určovaní výmer pozemkov jednoduchými polárnymi planimetrami treba rátať s pomernou chybou mp/P = 1 /500 (0,2 %) a presnými (valivými) planimetrami mp/P = 1 /3 000 (0,03 %). Planimetrovanie jednoduchým polárnym planimetrom pomerne je rýchle a pohodlné, ale jeho presnosť v mnohých prípadóch nevyhovuje. Na presné určovanie výmer pozemkov z mechanických pomôcok vyhovuje napr. Coradiho planimeter, ktorý patrí do skupiny technickych planimetrov, a elektronické planimetre. Presnosť určovania výmer pozemkov, podobne ako iných geodetických meraní sa kontrolujú opakovanými meraniami.Pri dvojnásobnom

resp. viacnásobnom určení plochy platia pre rozozdiely medzi získanými hodnotamy krajné odcýlky ktoré určujú meračské predpisy - zodpovedných organánov pre štátne mapové diela a kataster nehnuteľností. Všeobecne presnosť určenia plôch charakterizuje stredná chyba mp=k√Pm², kde P je výmera (m²) a k konštanta ktorá závisí od spôsobu urèovania výmery .

V geodetickej praxi všeobecne platí, že výmery malých pozemkov (do 100 m²) určujeme z pôvodných mier alebo presnými playmetrami.Výmery honov je najvhodnejšie určovať z mier získaných priamym meraním. V ostatnom čase sa aj u nás začínajú používať elektronické planimetre zahraničnej výroby, ktoré niektoré procesy majú plne automatizované.

3. Opíšte určovanie výmer pozemkov planimetrami, druhy planimetrov a ich princíp.