6 VYTYČOVANIE OBLÚKOV

Vytyčovanie oblúkov pri riešení úloh v stavebníctve je takisto dôležité. Z oblúkov sa najčastejšie používa kružnica, a to pre svoju jednoduchosť, pre veľký počet postupov vytyčovania, ale aj pre svoju konštantnú krivosť v ľubovoľnom bode krivky. Z geodetického hľadiska úloha vytýčenia oblúka má dve časti, a to vytýčenie hlavných bodov a vytýčenie podrobných bodov kružnicového oblúka. Vytýčené body sa v teréne najčastejšie stabilizujú dočasne - drevenými kolíkmi, ktoré sa doplnia popisovými kolíkmi.

6.1 VYTÝČENIE HLAVNÝCH BODOV KRUŽNICOVÉHO OBLÚKA

Za hlavné body kružnicového oblúka (obr 6.1 ) označujeme začiatok oblúka TK a koniec oblúka KT, vrchol (rozdeľujúci bod) oblúka v,

Obr. 6.1. Hlavné prvky kružnicového oblúka

stred oblúka S. Ďalšie hlavné prvky oblúka tvoria polomer oblúka r, priesečník dotyčníc VB, stredový uhol α, uhol dotyčníc τ a dĺžka dotyčníc t. Tieto prvky sa najprv vypočítajú, a potom sa vytýčia v teréne. Vytýčenie možno vykonať niekoľkými spôsobmi, podľa toho, aké prvky kružnicového oblúka sú dané. Kružnica je všeobecne určená troma prvkami.

Na odvodenie vytyčovacích prvkov predpokladajme, že oblúk je zadaný dotyčnicou t, stredovým uhlom α a polomerom r (obr. 6.2).

Obr. 6.2. Vytýčenie hlavných bodov kružnicového oblúka

Vytýčenie začiatku TK a konca KT oblúka, keď priesečník dotyčníc VB je prístupný, vykonáme napr. pásmom od priesečníka dotyčníc po obidvoch dotyčniciach vytýčením vopred vypočítanej dĺžky dotyčnice.

t=rtg(α/2)

Vrchol oblúka V možno vytýčiť rozličnými spôsobmi:

a) Vytýčenie pravouhlými súradnicami

Pri tomto spôsobe sa vytýči vrchol kružnicového oblúka V od dotyčnice pomocou súradníc x a y (obr. 6.2). Súradnice x a y vypočítame z pravouhlého trojuholníka VES

--------------------------

-------------------------- Uhol a = 180° -τ , kde τ je uhol dotyčníc a meria sa priamo, ak priesečník dotyčníc je prístupný.

Pri praktickom vytýčení sa postupuje takto na dotyčnici od bodu TK sa vytýči vypočítaná hodnota poradnice x, čím dostaneme bod P. V bode P vytýčime napr. pentagónom kolmicu a na nej vytýčime napr. pásmom dĺžku y.

b) Vytýčenie polárnou metódou

Vrchol oblúka V môžeme vytýčiť buď od bodu VB (ak priesečník dotyčníc je prístupný), alebo od bodu M na dotyčniciach.

1. Vytýčenie od bodu VB vykonáme uhlom τ/2 a vzdialenosťou z. Vzdialenosť z vypočítame z pravouhlého trojuholníka YBVM (obr. 6.2 ).

-----------------------

2. Vytýčenie od bodu M vykonáme uhlom α/2 a dotyčnicou tv vypočítanou z pravouhlého trojuholníka MTKS

--------------------------

Pri praktickom vytýčení sa postupuje takto: v priesečníku dotyčníc sa od dotyčnice vytýči teodolitom uhol τ/2 a v tomto smere vytýčime dĺžku z. Dostaneme vrchol kružnicového oblúka v.

V druhom prípade v bode M vytýčime teodolitom uhol α/2 a v tomto smere vytýčime dĺžku dotyčnice tv.

c) Vytýčenie od tetivy

Tento spôsob možno použiť napr. vtedy, keď priesečník dotyčníc VB je neprístupný. Na vytýčenie od tetivy potrebujeme poznať hodnotu vzopätia oblúka h = VVo. Môžeme ju vypočítať z pravouhlého trojuholníka TKV◦V, ktorý je zhodný s trojuholníkom TKVP (obr. 6.2)

------------------

Pri praktickom vytýčení napr. z bodu TK vytýčime teodolitom uhol α/2 a dĺžku

------------------------

Dostaneme bod Vo, v ktorom napr. pentagónom vytýčime kolmicu a na nej dĺžku h. Takto vytýčený bod je vrchol oblúka V.

V prehľadnom teréne s priamou viditeľnosťou medzi obidvoma dotyčnicami (bodmi M - M) môžeme vrcholový bod V vytýčiť rozdelením vzdialenosti M - M = tv.

6.1.1 Vytýčenie oblúka pri neprístupnom priesečníku dotyčnice

V praxi je často priesečník dotyčníc vzhľadom na konfiguráciu terénu neprístupný. Rovnaký prípad nastane, keď oblúk vytyčujeme v zastavanom území, hlbokom záreze alebo v tuneli. Vo všetkých týchto prípadoch treba vrcholový uhol dotyčníc i určiť nepriamo. Úlohu možno riešiť niekoľkými spôsobmi.

6.1.2 Riešenie pomocou trojuholníka

Keď terén je prehľadný a môžeme na dotyčniciach oblúka zvoliť dva pomocné body P1 a P2 (obr. 6.3) tak, aby medzi bodmi bola priama viditeľnosť, potom teodolitom odmeriame uhly ω1 a ω2 . V trojuholnνku P1VBP2 platí t = 180° - (ω1+ ω2) .

Ďalej treba určiť body TK a KT. Pretože priesečník dotyčníc VB je neprístupný, na výpočet vzdialeností a = P1VB a b = P2VB, potrebujeme odmerať ešte vzdialenosť bodov P1 = P2 = s12. Z trojuholníka P1VBPZ vypočítame pomocou sínusovej vety

----------------------------

Body TK a KT vytýčime od pomocných bodov P1 a P2 dĺžkami

------------------

Obr. 6.3. K výpočtu uhla dotyčníc pomocou dvoch zvolených bodov na dotyčniciach

6.1.3 Riešenie pomocou mnohouholníka (polygónom)

Keď terén na vytýčenie kružnicového oblúka je neprehľadný a priesečník dotyčníc VB je neprístupný, určíme uhol τ pomocou polygónového ťahu (obr. 6.4 ). V praxi sa na kontrolu riešenia zvolí vždy uzavretý polygónový ťah. Príslušný výpočet uhla τ sa skladá z dvoch častí z výpočtu a vyrovnania uzavretého polygónového ťahu.

Keď v polygónovom ťahu meriame vrcholové uhly ω1 na polygónových bodoch, potom pre uhol τ platí

--------------------

Ďalej pri riešení úlohy postupujeme rovnako ako v predchádzajúcom prípade. Vypočítame hľadané veličiny a a b.

Obr. 6.4. K výpočtu uhla dotyčníc pomocou polygónového ťahu príklad: Určte hlavné body kružnicového oblúka, keď priesečník dotyčníc je

neprístupný a na určenie uhla r sa použil uzavretý polygónový ťah so siedmimi vrcholmi. Merali sa vrcholové uhly m; s týmito hodnotami (obr. 6.4 )

w 1= 58,5647g s12 = 29,162 m

w 2= 214,5736g s23 = 32,561 m

w 3= 213,683g s34 = 30,433 m

w 4= 56,192g s45 = 34,472 m

w 5= 142,2356g s56 = 32,864 m

w 6= 168,480g s67 = 31,886 m

w 7= 146,273g s71 = 30,099 m

Súradnice uzavretého polygónového ťahu určíme známym postupom (tab. 6.1 ).

Uhol t sa určí z rozdielu smerníkov t = 180° - (d 4,vb - d vb,1) = = 56,988 Og.

Obr. 6.9. K výpočtu uhla dotyčníc pomocou polygónového ťahu

Tabuľka 6.1

VÝPOČET SURADNÍC BODOV POLYGÓNOVÝCH ŤAHOV

 

 

Ďalej určíme hodnoty veličín a , b .

---------------

A Pri určovaní začiatku a konca kružnicového oblúka postupujeme rovnako ako pri riešení trojuholníkom (stať 6.1.2).

 

6.2 VYTÝCENIE PODROBNÝCH BODOV KRUŽNICOVÉHO OBLÚKA

Po vytýčení hlavných bodov kružnicového oblúka nasleduje vytýčenie podrobných bodov. Podrobné body sa vytyčujú buď rovnomerne medzi hlavné body, alebo sa vytyčujú podľa potreby v odstupoch po.l0 až 20 m. Podrobné body sa väčšinou vytyčujú po obidvoch vetvách oblúka, t.j. od TK po V a od KT po V, čím sa súčasne zabezpečuje aj kontrola vytýčenia. Podrobné body oblúka môžeme vytýčiť rozličnými metódami, ktorých voľba závisí od terénnych pomerov, od tvaru oblúka, od presnosti vytýčenia a od pomôcok, ktoré máme k dispozícii. Hustota podrobných bodov sa zvolí tak, aby oblúk mal plynulý tvar, a aby rozdiel dĺžky oblúka po obvode a po tetive bol v rámci dovolených odchýlok. Uvedieme v praxi najčastejšie používané metódy.

6.2.1 Metóda pravouhlých súradníc od dotyčnice

Táto metóda sa používa najmä vtedy, keď terén medzi dotyčnicou

a oblúkom je málo členitý a prístupný. Každý bod oblúka je vytýčený nezávisle od druhého, takže chyby sa neprenášajú. Vytýčenie realizujeme pravouhlými súradnicami xi yi. Uvedieme dva spôsoby vytýčenia:

a) zvolia sa rovnaké úsečky (súradnica) x a súradnica y sa vypočíta podľa vzorca (obr. 6.5)

----------------------- Pri tomto spôsobe vytýčenia sú dĺžky na oblúku medzi jednotlivými podrobnými bodmi rozličné.

Obr. 6.5. Vytýčenie podrobných bodov oblúka pravouhlými súradnicami od dotyčnice

Obr. 6.6. Vytýčenie podrobných hodov oblúka pravouhlými súradnicami od dotyčnice s konštantnými vzdialenosťami medzi bodmi na oblúku

b) zvolia sa rovnaké dĺžky na oblúku, ktorým zodpovedá rovnaký uhol a (obr.6.6). Na vypočítanie súradníc x, a y, bodu P1 musíme najprv určiť stredový uhol a 1, a príslušný oblúku d1. Stredový uhol a 1, vypočítame zo vzorca

---------------------- Súradnice bodu P, určíme podľa vzťahu

--------------------- Pre ďalšie podrobné body platia obdobné vzorce

---------------------- Pre obidva spôsoby vytýčenia sú zostavené vytyčovacie tabuľky alebo výpočet môžeme vykonať aj pomocou kalkulačiek.

6.2.2 Metóda pravouhlých súradníc od tetivy

Keď je terén medzi dotyčnicou a oblúkom neprehľadný alebo ťažko prístupný, potom môžeme podrobné body kružnicového oblúka vytýčiť pravouhlými súradnicami od tetivy (obr. 6.7).

Obr. 6.7. Vytýčenie podrobných bodov oblúka pravouhlými súradnicami od dotyčnice

Pri tejto metóde sa podľa potreby zvoli od stredu tetivy V0 súradnica x1 bodu P1 a súradnica y1 sa vypočíta podľa vzorca y1=yv-y1=h-y¢ 1

kde h je vzopätie oblúka, ktoré určíme, ako v predchádzajúcich prípadoch podľa vzorca

-------- Súradnicu y1 určíme výpočtom od dotyčnice v bode V podľa vzorca -----------Metódy vytyčovania podrobných bodov kružnicového oblúka pomocou pravouhlých súradníc majú výhodu v jednoduchosti a rýchlosti vytýčenia. Na vytýčenie stačí pásmo a pentagón. Nevýhodou však je, že ich môžeme použiť len v prístupnom a dostatočne prehľadnom teréne.

6.2.3 Metóda polárnych súradníc od dotyčnice

Druhou základnou metódou na vytyčovanie podrobných bodov kružnicového oblúka je metóda polárnych súradníc. Polárne súradnice d, a s, (obr. 6.8) sa vzťahujú na začiatok oblúka TK ako pól a dotyčnicu ako základný smer.

Obr. 6.8. Vytýčenie podrobných bodov oblúka polárnymi súradnicami od dotyčnice

Podrobné body oblúka zvyčajne vytyčujeme v rovnakých odstupoch, čiže s rovnakými dĺžkami (5, 10, 20 m) po obvode oblúka d. Určuje sa obvodový uhol id a dĺžka polárneho lúča si. Predpokladom efektívneho vytyčovania je použitie elektrooptického tachymetra.

Polárne súradnice bodu P, vypočítame zo vzorcov -----------

Pre ďalšie podrobné body oblúka platia obdobné vzorce-----

Tento spôsob je vhodný na vytýčenie podrobných bodov krátkych oblúkov, pretože dĺžka s, ustavične vzrastá.

Keď stredové uhly a sú rovnaké, potom aj vzdialenosť d susedných podrobných bodov bude rovnaká. Obvodové uhly id budú pre podrobné body postupne narastať o rovnakú hodnotu ti. Vytýčenie sa takto zjednoduší, pretože každý nasledujúci podrobný bod možno vytýčiť z predchádzajúceho bodu vytýčením rovnako dlhej tetivy s1 na rameno príslušného smeru. Tento spôsob je rýchly, lebo teodolit zostáva na jednom mieste a vytyčuje sa stále rovnaká dĺžka tetivy. Uhly a tetivy treba však merať veľmi starostlivo, lebo chyby vo vytyčovaní sa v plnej miere prenášajú na ďalšie body.

6.2.4 Metóda vytyčovania oblúka po obvode

Tento spôsob sa používa vtedy, keď v teréne je volný priestor iba okolo osi trasy, napr. v tuneloch, zárezoch, lesných priestoroch a pod. V danom prípade použijeme metódu polárnych súradníc po obvode s prenášaním teodolitu (obr. 6.9).

Obr. 6.9. Vytýčenie podrobných hodov oblúka po obvode

Bod P1 vytýčime rovnako ako pri metóde polárnych súradníc od dotyčnice a z bodu TK prvkami

-------------------

Potom prenesieme teodolit na bod P1 a zacielime na predchádzajúci bod TK, Od tohto smeru vytýčime uhol 2R + 2d a vo vytýčenom smere vytýčime dĺžku s, čím dostaneme bod P2. Tento postup sa opakuje pri vytyčovaní ďalších podrobných bodov. Nevýhodou tejto metódy je, že nepresnosť vo vytýčení jedného bodu sa plne prenáša na všetky ďalšie body.

6.2.5 Približné metódy vytyčovania podrobných bodov oblúka

V praxi sa vyskytujú prípady, keď požiadavky na presnosť vytýčenia podrobných bodov oblúka sú menšie napr. pri osadzovaní obrubníkov chodníka na oblúkovej ulici. Predpokladáme, že presnou metódou sú napr. vytýčené dva body oblúka A a B. Ďalšie podrobné body oblúka môžeme vytýčiť približnými metódami. Najčastejšie sa používa štvrtinový postup (obr. 6.10). Postup pri vytyčovaní vytýčenia a výpočtu je jednoduchý a je založený na tom, že pre relatívne malé vzopätie h (vzhľadom na polomer r) platí

–––––––––––

Obr. 6.10. približné metódy vytyčovania podrobných bodov oblúka

Pri vytyčovaní postupujeme takto: Tetivu AB rozdelíme a v bode C0 vytýčime kolmicu, na ktorú nanesieme dĺžku h, a dostaneme bod C. Ďalej rozdelíme tetivu CB a v bode D0 opäť vytýčime kolmicu, na ktorú nanesieme dĺžku hc/4 a dostaneme bod D. Tento postup opakujeme podľa potrebnej hustoty podrobných bodov kružnicového oblúka. Ďalšie metódy približného vytyčovania podrobných bodov uvádza [5].

6.2.6 Vytýčenie kružnicových oblúkov pomocou vytyčovacích tabuliek

V praxi sa často na vytyčovanie kružnicových oblúkov používajú vytyčovacie tabuľky od rozličných autorov, napr.: Anikin, T.: Praktické vytyčovací tabuľky. Praha 1951. Klimeš, F: Loskot, F. a kol.: Vytyčovací tabuľky kruhových oblouka. SNTL, Praha 1975.

Práca s vytyčovacími tabuľkami je približne rovnaká. Pre určený uhol dotyčnice z nájdeme v tabuľkách vytyčovacie prvky kružnicového oblúka pre polomer R = l, resp. R = 10. Vytyčovacie prvky pre hľadaný oblúk r dostaneme, keď tabuľkové hodnoty vynásobíme konštantou, ktorú určíme ako pomer, polomera hľadaného a tabuľkového oblúka C = r/R.

Po vytýčení hlavných bodov oblúka obvykle nasleduje vytýčenie podrobných bodov oblúka metódou pravouhlých alebo polárnych súradníc. Pre tieto metódy potrebné vytyčovacie prvky získame z tabuliek.

6.2.7 Kontrola vytýčeného oblúka

Správnosť vytýčenia kružnicového oblúka môžeme kontrolovať napr. pomocou vzopätia. Keď určíme vrchol oblúka V z priesečníka dotyčníc VB, môžeme priamo odmerať vzopätie oblúka h nad tetivou Teoretickú hodnotu vzopätia určíme podľa vzorca

h=r(1 –cos a /2)

kde a je stredový uhol zodpovedajúci príslušnej tetive.

Pomocou teoretického a meraného vzopätia môžeme vykonať tvarovú správnosť vytýčeného kružnicového oblúka [l1, 14].

6.3 PRECHODNICE

Prechodnica je krivka, ktorá mení plynule svoju krivosť. Pre túto svoju vlastnosť sa vkladá medzi priame a kružnicové úseky trasy, aby sa odstránil prudký prechod trasy z dotyčnice do kružnicového oblúka. Ako prechodnice sa v praxi najčastejšie používajú dve krivky, a to kubická parabola a klotoida, výnimočne aj lemniskáta.

6.3.7 Kubická parabola

Kubická parabola ako prechodnica sa používa pre ČSD a jej rovnica má tvar (obr. 6.II )

y=ax³

kde a je konštanta,

x - úsečka,

y - poradnica ľubovoľného bodu P na prechodnici. Konštanta a v podmienkach ČSD sa určí podľa vzorca 1

a=1/6rl

kde l je dĺžka prechodnice.

Obr.6.11. Vytýčenie kubickej paraboly

Str.l57

V praxi sa prechodnica najčastejšie vytyčuje od dotyčnice. Začiatok pravouhlej súradnicovej sústavy x, y je v bode ZP ~ TP prechodnice. Na každej prechodnici sa vytyčujú najmenej tri hlavné body ZP, M a PK. Na výpočet vytyčovacích prvkov sa používajú vytyčovacie tabuľky, napr. Bláha, V.: Vytyčovací tabulky pro prechodnice a zakružovací oblouky na Lomech sklonu. Praha 1954.

6.3.2 Klotoida

Klotoida ako prechodnica sa používa v cestnom staviteľstve. Jej rovnica podľa ČSN 73 6101 má tvar (obr 6.11 )

LR=A² kde L je dåžka prechodnice od bodu TP, R - priemer krivosti v danom bode

A² - parameter (konštanta) klotoidu, ktorý urèuje, ako rýchlo sa klotoida zvinuje, a volí sa v závislosti od navrhovanej rýchlosti projektovanej komunikácie.

Obr. 6.12. Vytýčenie klotoidy

1 - dotyčnica, 2 - kružnica, 3 - klotoida

Na vytyčovanie bodov klotoidy sa najčastejšie používajú pravouhlé súradnice od bodu TP. Opäť sa vytyčujú najmenej tri body klotoidy TP, M a PK. Na výpočet vytyčovacích prvkov môžeme použiť vytyčovacie tabuľky, v ktorých pre parameter A a polomer R nájdeme dĺžku klotoidy L a ďalšie vytyčovacie prvky. Ako vytyčovacie tabuľky môžeme použiť napr.: Kutnohorský, A.: Vytyčovací tabulky pro klotoidické prechodnice ke kruhovým obloukom. Praha 1972, alebo Veselý, V.: klotoida, vytyčovací tabulky. Praha 1952.

6.3.3 Lemniskáta

Lemiskáta je krivka, ktorá sa používa pri úpravách vodných tokov, väčšinou ako priebežný oblúk zložený z dvoch symetrických vetví: vytýčenie bodov lemniskáty môžeme použiť polárne alebo účelnejšie pravouhlé súradnice.

Lemniskátový oblúk (obr. 6.13) obvykle býva zadaný uhlom dotyčníc t symetrickom oblúku) a dĺžkou dotyčnice t [5]. Rovnica Lemniskáty má tvar

! je dĺžka sprievodiča (polárneho lúča), · - polomer krivosti v bode krivky,

z - parameter poloosi lemniskáty.

159

Obr. 6.13. Vytýčenie lemniskáty

Medzi uhlami lemniskáty platia vzťahy j +d =45°

t =90°-3d

Zo základných hodnôt t a t sa odvodia dalšie prvky lemniskáty. Dĺžka sprievodiča l s urči z rovnice ----- kde t je dlžka dotyčnice. Uhol d sa určí z rovnice ------------- Pre parameter lemniskáty a platí -----------a pre polomer krivosti -------- Bod V lemniskátového oblúka môžeme vytýčiť pravouhĺími súradnicami od bodu O ≡ Z

pričom platí (x')² + (y`)² alebo polárnymi súradnicami od dotyènice pomocou dĺžky sprievodiča l a polárneho uhla d alebo j z hodu Z.

Pri výpočte a vytyčovaní podrobných bodov lemniskáty sa predpokladá, že poznáme parameter a zvolíme dĺžku oblúka 7° a Aj na vytyčovanie lemniskáty sa v praxi použivajú

tabuľky, napr. Pelíkán, M.: Tabulky pro navrhování a vytyčovaní lemniskátových obloukov. Praha 1982.

 

6.4 VYTČOVANIE YÝŠKOVÝCH OBLÚKOV

Na plynulý prechod z jedného sklonu nivelety trasy do druhého sklonu nivelety sa používajú výškové (zakružovacie) oblúky (obr. 6.14 ). Pri ČSD sa lom pozdĺžneho sklonu nivelety zaobluje kružnicovým výškovým oblúkom, v cestnom staviteľstve parabolický (parabola druhého stupňa) výškový oblúk.

Obr.6.14. Vytýčenie parabolického výškového oblúka

Výškové oblúky bývajú zväčša zadané dotyčnicami nivelet I, a lz, sklonmi nivelet s, a si v percentách alebo v promile a polomerom zaoblenia r, (alebo j ).

Na vytýčenie výškového oblúka treba vypočítať vytyčovacie prvky pre:

Uvedieme výpočet vytyčovacích prvkov pre parabolický výškový oblúk, ktorý je jednoduchší ako kružnicový oblúk [5]. Na výpočet vytyčovacích prvkov môžeme použil vyučovacie tabuľky, napr.: Bláha, V.: Vytyčovacie tabuľky pro prechodnice a zakružovací oblouky. Praha 1934, alebo výhodnejšie je výpočet vykonať pomocou kalkulačiek. Rovnice na vytyčovacie prvky sú zostavené pre lom nivelety zo sklonu s1% do sklonu s1% opačného smeru (obr. 6.14). Úloha býva zadaná napr. staničením a výškou bodov nivelety 1 a 2 a sklonmi nivelet s, a si. Najprv vypočítame staničenie a výšku priesečníka nivelety od bodu 1 a 2

Kontrolné otázky:

1. Vymenujte hlavné body a prvky oblúka kružnice.

2. Aké metódy poznáte na podrobné vytyčovanie bodov kružnicového oblúka?

3. Čo je to prechodnica a kde sa používa? 4. Ako sa kontroluje vytýčenie oblúka?

5. Ako sa vytyčujú výškové oblúky?