7 TEÓRIA CHÝB A VYROVNÁVACÍ POČET

V geodézii pri praktickom meraní v teréne zisťujeme rozličné veličiny, napr. uhly, výšky, dĺžky, teplotu, tlak atd. Na meranie sa používajú rozmanité prístroje, pomôcky, zariadenia, ako aj rozličné metódy. Meraním sa určuje veľkosť veličín v takých dohovorených jednotkách, ako je meraná veličina. Výsledkom merania je potom číselné vyjadrenie meranej veličiny.

Každé meranie v geodézii sa vykonáva viackrát, najmenej dvakrát. Výsledky opakovaných meraní dávajú istotu, že pri meraní nevznikli hrubé chyby a súčasne sa tým zvyšuje miera presnosti merania. Pri opakovanom meraní nedostávame rovnaké výsledky, aj keď podmienky zostali prakticky nezmenené (rovnaký pristroj, rovnaká metóda, rovnaký merač atd.). Prejavuje sa pritom nedokonalosť prístrojov, ľudských zmyslov, ale najmä pôsobenie vonkajších vplyvov prostredia, ustavične sa meniacich s miestom a časom. Každá meraná hodnota l; sa od pravej hodnoty X meranej veličiny líši o hodnotu έi = X - li ktorú nazývame meračskou chybou.

Vlastnosťami meračských chýb a ich vplyvom na výsledky merania sa zaoberá teória chýb.

Matematickým spracovaním výsledkov meraní sa zaoberá vyrovnávací počet, ktorý určí:

ďalšou úlohou teórie chýb a vyrovnávacieho počtu je posúdiť presnosť merania a vypočítaných výsledkov, t. j. určiť charakteristiky presnosti merania a výsledkov vyrovnania [37].

7.1 DELENIE CHÝB A ICH ŠTRUKTÚRA

Meračské chyby možno rozdeliť na základe rozličných hľadísk. Iba stručne sa oboznámime s ich delením a štruktúrou.

7.7.7 Omyly

Omyly pri meraní vznikajú nepozornosťou merača, nesprávnou manipuláciou s prístrojom a pod. kde napr. o zámenu čítania na stupnici prístroja, zámenu smeru číslovania pásma, zacielenie na nesprávny bod, neurovnanie libely pri nivelácii atd.

Na overenie, či pri meraní nedošlo k omylu, meriame vždy aspoň dvakrát, obyčajne však opakujeme meranie viackrát. Výsledok, ktorý sa podstatne líši od ostatných, treba nahradiť novým meraním.

7.1.2 Hrubé chyby

Pri meraní za nepriaznivých podmienok (silný vietor, veľká vibrácia obrazu cieľa v ďalekohľade, málo skúsený merač a pod.) môže byť výsledok merania zaťažený väčšou chybou, ako je pre použitý prístroj, resp. metódu dovolené. V takomto prípade ide o hrubú chybu, ktorú zistíme tak, že výsledok sa výrazne líši od ostatných meraní. Takúto hodnotu treba z radu meraní vylúčiť (meranie treba opakovať), pretože môže nepriaznivo ovplyvniť presnosť výsledku.

Výsledky sa z meraní nevylučujú podľa subjektívnych názorov, ale pre každú metódu merania sa určí základná stredná chyba m (pozri stať 7.2.2) a podľa jej hodnoty sa určí maximálna dovolená (krajná) chyba (pozri stať 7.3), ktorá sa pri meraní nesmie prekročiť.

7.1.3 Systematické chyby

Systematické chyby deformujú výsledky určitým pravidelným spôsobom, preto sa snažíme ich zdroje, resp. prejavy eliminovať. Sú to napr. chyby Prístrojov a pomôcok, ktoré spôsobujú, že meriame sústavne väčšiu alebo sústavne menšiu hodnotu. Pri naklonení laty v smere nivelovania čítame vždy väčšiu hodnotu ako v skutočnosti, ak meriame pásom dlhším o n-milimetrov, ako je jeho nominálna hodnota, potom pri každom kladení meriame o n-milimetrov menej.

Podľa vlastností členíme systematické chyby na:

- stále,

- jednostranné,

- premenlivé (variabilné).

Stále (konštantné) systematické chyby Ck majú pri každom meraní rovnaké znamienko a rovnakú hodnotu. Takáto chyba vznikne napríklad pri meraní dĺžok pásmom, ktorého skutočná dĺžka sa odlišuje od nominálnej, ako sme už uviedli. Opakovaným meraním sa táto chyba nedá zistiť. Túto chybu vylúčime tak, že odstránime príčiny jej vzniku a výsledky merania korigujeme (napr. dĺžky opravíme o rozdiel medzi nominálnou a skutočnou hodnotou pásma).

Jednostranná systematická chyba (pôsobí jednostranne) má počas merania rovnaké znamienko, ale mení sa jej veľkosť buď podľa určitého zákona alebo náhodne (napr. odklon laty v smere zámernej priamky pri nivelácii zväčšuje latový úsek).

Premenlivo systematická chyba má premenlivú veľkosť aj znamienko v určitých časových úsekoch, v ktorých väčšinou pôsobí stále alebo jednostranne iba určitý čas (napr. vplyv teploty a najmä jej zmien pri veľmi presnej nivelácii). Takáto chyba s prejaví pri porovnávaní výsledkov merania vykonaných v rozličných podmienkach prostredia.

7.1.4 Náhodné chyby

Náhodné chyby zaťažujú merané hodnoty náhodne, čo sa prejaví vo veľkosti a v znamienku. Náhodné chyby sú navzájom nezávislé, vyskytujú a pri každom meraní (merač nemôže zabrániť ich vplyvu), nemožno ich eliminovať ani počtárskymi opravami, ani. metódou merania. Vznikajú ako dôsledok nedokonalosti ľudských zmyslov, zostatkových chýb prístrojov, pomôcok a vplyvom premenlivého, stále sa meniaceho vonkajšieho prostredia. Náhodné chyby nemožno predvídať ani určiť, ale pretože sú náhodnými veličinami, podliehajú zákonom teórie pravdepodobnosti. Toto však platí vždy len pre súbor náhodných chýb.

Zákonitosti o výskyte náhodných chýb v meračskom súbore vyniknú už vtedy, keď roztriedime množinu chýb e; do vhodne určených

veľkostných intervalov D ε a tie s prνslušným počtom chýb ako poradnicami graficky zobrazíme v podobe histogramu rozdelenia chýb (obr. 7.1).

Obr.7.l. Histogram rozdelenia chýb-Gaussova krivka

Analytickú zákonitosť prejavu náhodných chýb s z pravdepodobnostného hľadiska vyjadruje krivka f(ε), ktorú charakterizuje normálne rozdelenie hustôt pravdepodobnosti chýb. Normálny (Gaussov) zákon chýb má tvar

------------ (7.1) kde e je základ prirodzených logaritmov,

h - parameter funkcie (miera presnosti).

Zo súboru náhodných chýb sa parameter h vypočíta zo vzorca

---------------kde m je stredná chyba (pozri stať 7.2.2).

Ak poznáme h, môžeme nakresliť grafický obraz funkcie,f(ε), t,j nakresliť frekvenčnú Gaussovu krivku symetrickú proti E(ε) = 0, kde 166

E(ε) je strednα hodnota náhodnej chyby s, ktorá má pre náhodné chyby teoreticky nulovú hodnotu.

čím je parameter h väčší., tým je súbor výsledkov merania presnejší a Gaussova krivka je "štíhlejšia" a naopak.

Z priebehu a rozboru Gaussovej krivky vyplývajú tieto poznatky pre výskyt náhodných chýb:

a) pravdepodobnosť výskytu kladnej a zápornej chyby určitej veľkosti je rovnaká,

b) pravdepodobnosť výskytu náhodných chýb je funkciou ich veľkosti, pričom pravdepodobnosť výskytu chyby klesá s narastaním jej veľkosti, t. j. malé chyby sa v súbore vyskytnú vo väčšom počte ako veľké chyby,

c) pravdepodobnosť výskytu náhodnej chyby s za určitou hranicou ±εmax je prakticky nulová.

Zákon normálneho rozdelenia (vzťah 7.1 ), ktorým sa riadia náhodné chyby, má mimoriadny význam pre teóriu chýb (teóriu merania) aj na spracovanie výsledkov merania.

7.1.5 Skutočné a pravdepodobné chyby

Na určenie veľkosti neznámej veličiny, ktorej pravá hodnota je X, vykonáme n meraní, ktorých výsledky označme l1 ,l2...ln. Skutočná chyba s je rozdiel pravej (presnej) hodnoty X meranej veličiny a nameranej hodnoty l čiže

------------ (7.3) Pravú hodnotu X meranej veličiny poznáme len zriedka, a preto

skutočné chyby s.(i = 1, 2, ..., n) môžeme vypočítať iba výnimočne. Skutočnou chybou je napríklad odchýlka.(uzáver) súčtu troch meraných uhlov v rovinnom trojuholníku od 180° (200~ a pod.

Dá sa dokázať, že najpravdepodobnejšou hodnotou meranej veličiny je aritmetický priemer x meraných hodnôt l1,l2....ln --------------

! Najpravdepodobnejšie chyby v, sú rozdiely aritmetického priemeru x a meraných hodnôt l čiže

------------

7.1.6 Úplné (skutočné) chyby

Ak sme z výsledkov meraní nevylúčili všetky systematické chyby, skladá sa každá úplná (celková, skutočná) chyba c' z náhodnej zložky e a zo systematickej zložky c, t.j. έ=ε+c

 

7.2 CHARAKTERISTIKY PRESNOSTI MERANIA

Presnosť merania možno charakterizovať:

- priemernou chybou s,

- strednou chybou m,

- pravdepodobnou chybou r.

7.2.1 Priemerná (lineárna) chyba

G Priemerná (lineárna) chyba s sa vypočíta ako aritmetický prieme absolútnych hodnôt všetkých chýb

-----------

Nevýhodou tejto charakteristiky presnosti je, že sa na jej hodnotách veľmi neprejavia jednotlivé väčšie chyby.

7.2.2 Stredná chyba

Stredná chyba m je definovaná ako odmocnina z priemeru štvorcov všetkých chýb, čiže

---------------- (7.8) V teórii chýb a vo vyrovnávacom počte sa používa zápis ε²= εε. V hodnote strednej chyby m sa oveΎa výraznejšie prejavia väčšie

chyby ako v priemernej chybe s, a preto sa stredná chyba takmer výhradne používa ako charakteristika presnosti merania. Vzťah strednej chyby m a miery presnosti h určuje vzorec (7.2).

Ak poznáme skutočné chyby s, vypočítame strednú chybu z opráv v, podľa vzorca

-.----------- 7 9 Ak je stredná chyba vypočítaná zo vzorcov (7.8) alebo (7.9) z veľkého počtu chýb alebo opráv, t.j. zo základného súboru výsledkov merania, je to základná stredná chyba a označuje sa obyčajne m; nazýva sa aj stredná chyba metódy merania.

7.2.3 Pravdepodobná chyba

Pravdepodobná chyba r je taká, ktorá sa v rade meraní toľkokrát prekročila, koľkokrát sa dosiahla. Ak by sme zoradili chyby podľa ich absolútnych veľkostí je to hodnota uprostred.

7.3 NAJVÄČŠIE DOVOLENÉ (KRAJNÉ) CHYBY

Pre každú metódu merania určujú technické predpisy dovolené alebo krajné chyby. Väčšie chyby ako krajné sa pokladajú za hrubé chyby.

V praxi sa vychádza z konkrétnych požiadaviek na presnosť výsledkov jednotlivých druhov meraní a krajné chyby e~,~; sa určia pre meranie:

a) vyššej presnosti εkraj = 2 m,

b) strednej presnosti εkraj = 2,5 m;

c) nižšej presnosti εkraj = 3 m.

 

Keď meriame niektorú veličinu len dvakrát, dostávame tak meračské dvojice (v geodézii dosť časté). Rozdiel ich výsledkov nesmie byt väčší ako odchýlka D

D = εkraj (7.10)

Napríklad pri veľmi presnej nivelácii musia rozdiely r (odchýlky medzi meraním tam a späť v oddieloch) spĺňať pre 1. rád ČSJNS podmienku

r < 1,50Ö R (mm)

kde R je dĺžka oddielu (vzdialenosť dvoch nivelačných bodov) (km). Vo výrobnej činnosti (napr. v stavebníctve, strojárstve) sa určujú konštrukčné (plánované) rozmery výrobkov (napr. stavebných dielcov) a ich najväčšie a najmenšie dovolené rozmery. Rozdiel medzi najväčším a najmenším dovoleným rozmerom je tolerancia L.

Pri výrobe sa vždy nedodržia presne plánované rozmery, nesmú sa však prekročiť krajné odchýlky. Pri kontrole výrobkov sa meraním zistí výrobný rozmer, a to s určitou strednou chybou.

Aby takáto kontrola mala vôbec zmysel, musí sa merať s podstatne vyššou presnosťou, ako je dovolená tolerancia. Obyčajne sa vyžaduje, aby výrobný rozmer bol určený. z opakovaných meraní so strednou chybou

----------------

Podobná situácia je pri vytyčovaní stavebných objektov a pri kontrole ich geometrických parametrov, kde príslušné odchýlky určujú ~SN (pozri kap. 8).

7.4 MERANIA ROZLIČNEJ PRESNOSTI A ICH VÁHY

Ak meriame nejakú veličinu pri rozličných podmienkach (rozlične presnými prístrojmi, pri rozličných atmosférických podmienkach) alebo ak opakujeme meranie pri rovnakých podmienkach, ale v inom počte, merané výsledky majú rozličnú presnosť. Pri matematickom spracovaní takýchto meraní uvedené skutočnosti rešpektujeme zavedením tzv. váh meraní.

Rozličná presnosť znamená, ich merané hodnoty majú rozličné stredné chyby m;. Váha pi i-tého merania je definovaná ako recipročná hodnota štvorca strednej chyby, čiže

----------------- Strednú chybu merania, ktoré má váhu po = 1, nazývame strednou chybou pre jednotkovú váhu alebo stručne jednotkovou strednou chybou a označujeme ju mо.

Platí-----------,

alebo --------

Ak sa majú váhy určiť spoľahlivo, musia sa spoľahlivo určiť aj stredné

chyby, z ktorých sa váhy vypočítavajú (stredné chyby sa musia určiť z dostatočne veľkého počtu meraní). Ak je počet meraní malý, váhy obyčajne pokladáme za rovnajúce sa počtu meraní alebo sa určia podľa základných stredných chýb použitých metód merania.

Príklad [37]

V trojuholníku sme merali tri uhly, každý v 4. skupinách. Ich stredné chybý sú mα = 0,7", mβ = I,0", mγ = 0,8". .

Príslušné váhy budú

--------------------------

7.5 ZÁKLADY VYROVNÁVACIEHO POČTU

Na matematické spracovanie meraných hodnôt veličín sa najčastejšie používa vyrovnanie podľa metódy najmenších štvorcov.

7.5.1 Princíp vyrovnania metódou nejmenšich štvorcov

Ak opakujeme meranie nejakej veličiny, ktorej pravá hodnota je X, n-krát, dostaneme vplyvom meračských chýb rozličné výsledky l1 ,l2…..ln. Gauss vypracoval a roku 1809 zverejnil takú metódu spracovania meraných hodnôt. Pri ktorej vyrovnaná hodnota x má najväčšiu matematickú pravdepodobnosť, čiže je to hodnota najpravdepodobnejšia. Vyrovnaná hodnota x bude najpravdepodobnejšou hodnotou meranej veličiny vtedy, keď budú najpravdepodobnejšie aj chyby (opravy) v=x-l1 v2=x-l2,... vn=x-ln . vyhovovať podmienke --------------------------

alebo v stručnom zápise, obvyklom vo vyrovnávacom počte --------- Ak majú výsledky merania l1,l2 ..., ln, rovnakú presnosť (rovnakú váhu), bude p1 = p2 = ... pn = 1 a podmienku maximálnej pravdepodobnosti vyjadríme vzťahom

-----------

v.skrátenom zápise--------------

Metóda vyrovnania, založená na podmienkach určí vyrovnanú hodnotu x tak, že súčet štvorcov opráv násobených príslušnými váhami alebo iba súčet štvorcov opráv (pri rovnakej platnosti merania) je minimálny. Podľa toho sa táto metóda nazýva metóda najmenších štvorcov.

Základné spôsoby vyrovnania podľa metódy najmenších štvorcov sú

1. Vyrovnanie priamych meraní, keď z opakovaných meraní ľubovoľnej veličiny vypočítame jej najpravdepodobnejšiu hodnotu,

2. Vyrovnanie sprostredkujúcich meraní používame vtedy, keď treba určiť jednu alebo viac nezávislých veličín, ktoré nemožno priamo merať, ale poznáme matematický vzťah týchto veličín k veličinám. Ktoré môžeme merať (súradnice bodov určujeme napr. z meraných uhlov a dĺžok).

3. Vyrovnanie podmienkových meraní sa použije vtedy, keď priamo merané veličiny po vyrovnaní majú splniť určité vopred dané matematické podmienky (súčet troch meraných uhlov v trojuholníku musí byť po vyrovnaní 180° (200g).

7.6 VYROVNANIE PRIAMYCH MERANÍ

Ako sme už uviedli, ide o určenie najpravdepodobnejšej hodnoty veličiny, ktorú sme priamo viackrát merali. Výsledky meraní môžu mať rovnakú alebo rozličnú presnosť.

Ukážeme, že podľa metódy najmenších štvorcov sa vyrovnaná hodnota rovná prostému alebo všeobecnému aritmetickému priemeru, ďalej uvedieme kontroly, ktoré overujú správnosť výpočtov, určenie presnosti merania a presnosti vyrovnanej hodnoty.

7.6.1 Vyrovnánie priamych meraní rovnakej presnosti

Na určenie veľkosti neznámej veličiny X sa za rovnakých podmienok

vykonalo n meraní. Súbor výsledkov l1,l2..ln má teda rovnakú presnosť (rovnakú váhu). Podľa metódy najmenších štvorcov musí sa vyrovnaná hodnota x určiť tak, aby opravy vi = x – l1 spĺňali podmienku

-------------

Vyrovnanú hodnotu x vypočítame zo vzťahu----------------------

Stredná chyba jedného merania m, ktorá charakterizuje presnosť merania, sa vypočíta z opráv vi podľa vzorca

--------------------

Stredná chyba mx vypočítaného aritmetického priemeru podľa vzorca je -------.

Pretože v danom prípade sa váha aritmetického priemeru rovná počtu meraní - px=n; je

---------------------------

Zo vzorca vyplýva, že Stredná Chyba aritmetického priemeru klesá s odmocninou z počtu opakovaných meraní.

Ak tento pokles znázorníme graficky (obr.7.2), vyplýva z toho, že sa stále zmierňuje a je výrazný pre počet opakovaných meraní menších ako 16. Pri ďalšom zvyšovaní počtu meraní klesá stredná chyba aritmetického priemer (rastie presnosť určenia tejto veličiny) len veľmi málo.

Obr. 7.1. Priebeh strednej chyby aritmetického priemeru v závislosti od počtu meraní

Veľký počet meraní teda nie je hospodárny. Vyššia presnosť sa preto v praxi nebude získavať veľkým počtom opakovaných meraní metódou, ktorá má veľkú základnú strednú chybu m, ale radšej zvolím metódu s menšou základnou strednou chybou.

Ak chceme napr. určiť z merania presnejšiu hodnotu uhla, nebudeme veľakrát opakovať meranie málo presným teodolitom, ale použijeme presnejší teodolit a meranie budeme opakovať len 12-krát až 16-krát. Ďalšie podrobnosti sú v literatúre z vyrovnávacieho počtu

Príklad Dĺžka X sa 12-krát merala optickým dĺžkomerom. Treba vypočítať vyrovnanú hodnotu (aritmetický priemer x), strednú chybu jedného merania m a strednú chybu mx aritmetického priemeru. Výpočet je v tabuľke Vyrovnanie podľa metódy najmenších štvorcov predpokladá, že jednotlivé výsledky meraní sú zatajené len náhodnými chybami.

Tabuľka 7.1 Výpočet vyrovnanej dĺžky

Výsledok vyrovnania: x = 160,Ó8 m+- 0,012 m (n` = 1l)

Iba v tomto prípade dostaneme vyrovnaním najpravdepodobnejšie hodnoty meraných veličín. Ak zostanú vo výsledkoch meraní aj systematické chyby, dostaneme nesprávne hodnoty.

7.6.2 Vyrovnanie priamych meraní rozličnej presnosti

Ak majú výsledky meraní rozličnú presnosť, potom túto skutočnosť vyjadríme zavedením váh. Stredná chyba merania mo s váhou po = 1 (jednotková stredná chyba) je daná vzorcom .

----------a stredná chyba mx vypočítaného aritmetického priemeru je

------------------------

Váha všeobecného aritmetického priemeru je --------------

Po vyrovnaní môžeme vypočítať stredné chyby mi jednotlivých meraní podľa vzťahu

----------------------

Pri výpočtoch sa rozdelí každá hodnota li na súčet zaokrúhlenej hodnoty lo a malých doplnkov δi. Pre všeobecný aritmetický priemer dostaneme vzorec

--------------------

a na kontrolu rovnicu

-----------------------------

Príklad

Na určenie nadmorskej výšky H bodu P boli trigonometricky merané výškové rozdiely h z bodov P1 P2 P3 (obr. 7.3 a tab. 7.2). Váhy sa v takomto prípade obyčajne vypočítajú zo vzorca

--------------------------

kde si je dĺžka strán (km).

176

Malý rozdiel vsúdtoch ---- pvδ je spôsobený zaokrúhlením vyrovnanej hodnoty xo +0,04 cm.

Obr.7.3. K určeniu vyrovnanej nadmorskej výšky bodu

Tabuľka 7.1 Výpočet vyrovnania trigonometricky určenej výšky